Площадь у базилики Сан Джованни и Паоло в Венеции

Родился в Александрополе (ныне Гюмри). В 1917 году переехал в Тифлис, там же получил среднее образование. В 1928 году окончил тбилисскую школу № 42. С 1931 года проживал в Ереване, тогда же поступил на архитектурное отделение строительного факультета Ереванского политехнического института, который в 1937 году с отличием завершил. В 1937–1939 годах проходил военную службу.

Трудовую деятельность начал ещё будучи студентом, работал под руководством Николая Гавриловича Буниятяна.

В 1941 году был призван в ряды Красной Армии, участвовал в Великой Отечественной войне. В 1942 году был отозван со фронта по ходатайству Академии архитектуры СССР, занялся изучением и обмерами памятников древнеармянского зодчества.

В 1945 году проходит персональная выставка работ Агабабяна в Союзе архитекторов Армении. В 1947–1951 годах работал заместителем главного архитектора Еревана, преподавал на кафедре архитектуры Ереванского политехнического института. В 1949 году был избран секретарем правления Союза архитекторов Армении.

В 1951–1959 годах работал главным архитектором Еревана. В 1957 году избран членом-корреспондентом Академии архитектуры и строительства СССР. С 1959 года и до конца жизни работал председателем Государственного комитета по делам строительства и архитектуры Армянской ССР.

По его проектам были построены жилые дома в Ереване по улицам – Абовяна (1937), Барекамутян (1938; совместно с архитекторм Э. А. Тиграняном), Чаренца (1943), Туманяна в Ереване (1944), Кирова (1949); возведены жилые дома по проспектам Октемберяна (1948, 1958) и Орджоникидзе (1951).

По проектам Григора Агабабяна построено большое количество общественных зданий: клуб-библиотека в селе Ацаван в Котайкской области (1943), спортивный клуб с гимнастическим залом общества «Спартак» в Ереване (1943), Дом-музей Ованеса Туманяна в Ереване (1944), административное здание министерства мясо-молочной промышленности Армянской ССР по проспекту Орджоникидзе в Ереване (1947), административное здание ЦСУ Армении по проспекту Орджоникидзе в Ереване (1947), здание проектного института «Армпромпроект» по проспекту Октемберян в Ереване (1949; совместно с архитектором М. В. Григоряном), Кинотеатр «Айреник» в Ереване (1950), административное здание с жилым домом по ул. Калинина в Ереване (1951), здание НИИ Автоматики в Кировакане (1952), здание Комитета народного контроля Армянской ССР (1955), учебный корпус ДОСААФа Армянской ССР по проспекту Орджоникидзе в Ереване (1958).

Многие учебные заведения построены по проектам Г. Г. Агабабяна: средней школы имени И. Крылова по улице Маяковского в Ереване (1935), школы имени П. Прошяна по пр. Ленина в Ереване (1937), школы имени Е. Чаренца по улице Амиряна в Ереване (1947), школы имени Ф. Дзержинского по улице Чаренца в Ереване (1950), здание Техникума пищевой промышленности по проспекту Орджоникидзе в Ереване (1951), Торгового техникума по проспекту Ленина в Кировакане (1951), здания педагогического техникума в Кировакане (1951), здание профтехучилища на углу улиц имени 26 комиссаров и проспекта Орджоникидзе в Ереване (1955).

Также по проектам Григора Агабабяна построен летний ресторан «Лори» в Ереване (1937), Ереванский Центральный холодильник (1945), Большой Разданский мост (1949; совместно с инженерами-конструкторами В. В. Пинаджяном В. В. и Н. А. Словинским), Центральный крытый рынок по проспекту Ленина (1951; совместно с инженером А. А. Аракеляном), Крытые рынки по проспекту Комитаса (1957) и на улице Калинина (1958), автовокзал по Эчмиадзинскому шоссе в Ереване (1959). В 1946–1952 годах выполнил проекты планировки и объектов Ереванского зоопарка.